\documentclass[russian]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{psfig}
\usepackage{epsf}
\textwidth 15cm
\textheight 20cm
\topmargin 0cm
\oddsidemargin 0.5cm
\begin {document}
\title {Исследование кривых вращения галактик, видимых с ребра.\newline     
Отчет Копосова С. Е. и Аболмасова П. К., студентов астрономического
отделения физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.}
\maketitle
\section {Введение}
Исследовалась выборка из 46 галактик видимых с ребра, спектры которых в
красном спектральном диапазоне были получены в разное
время на длиннощелевом спектрографе в прямом фокусе БТА. Целью работы
являлось проведение первичной редукции спектральных данных, построение кривых 
вращения галактик, получение фундаментальных соотношений между параметрами 
галактик выборки, а также изучения влияния эффектов селекции на параметры выборки.       
\section {Первичная редукция данных}
Предоставленные нам данные были необработанными, поэтому, прежде чем
приступать к получению кривых вращения, необходимо было проделать ряд
дополнительных стандартных действий по первичной редукции спектров:
\begin {enumerate}
\item {} Усреднение медианой всех BIAS-ов, и вычитание среднего BIAS-а из 
всех кадров.
\item {} Получение изображения плоского поля (FLAT FIELD) из нескольких
изображений сумеречного неба, и деление всех кадров на среднеее плоское
поле, а также учет виньетирования.
\item {} Удаление дефектов ПЗС матрицы и следов космических частиц.
\item {} Построение дисперсионного соотношения и перевод координат на ПЗС
матрице в шкалу длин волн.
\item {} Построение и вычитание фона и линий неба.   
\end{enumerate}
Также можно упомянуть то, что, в процессе редукции, многократно, для
уменьшения шумов, устранения разного рода дефектов применялись различные алгоритмы
сглаживания и нелинейной фильтрации, детально описывать применение которых не
имеет особого смысла. Все эти процедуры выполнялись при помощи стандартной 
системы обработки астрономических данных - пакета Midas, его стандартных 
функций, а также контекста LONG. Так как имевшийся у нас в наличии набор изображений содержал около 60 
спектров галактик (правда некоторые галактики были сняты дважды), нам пришлось
написать самим набор, автоматизирующих процесс редукции, подпрограмм.
Процесс редукции, и его влияние на вид спектра после выполнения различных
этапов редукции, проиллюстрирован на Рис. 1 - 4   
	
\begin{figure}
 \begin{minipage}[t]{.18\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=bfgc1289.ps,width=\linewidth}
  \vspace{10pt}
Рис. 1 Необработанный спектр галактики FGC 1289.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{.18\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=cbfgc1289.ps,width=\linewidth}
  \vspace{10pt}
Рис. 2 Cпектр галактики FGC 1289 очищенный от космических частиц.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{.18\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=fcbfgc1289.ps,width=\linewidth}
  \vspace{10pt}
Рис. 3 Cпектр галактики FGC 1289 поделенный на плоское поле.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{.18\linewidth}
  \centering
\psfig{figure=srfcbfgc1289.ps,width=\linewidth}
  \vspace{10pt}
Рис. 4 Cпектр галактики FGC 1289 с вычтенным фоном неба, а также вычтенными
линиями неба.
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
\section{Получение кривых вращения и определение некоторых
кинематических характеристик галактик}
В данной работе ставилась задача, получить кривые вращения галактик видимых
с ребра по эмиссионным линиям. В спектрах галактик, уже прошедших
первичную редукцию, часто, помимо $H\alpha$, были видны и другие эмиссионные линии 
(SII, NII), однако интенсивность $H\alpha$  эмиссии, как правило, была в
несколько раз больше интенсивности других эмиссионных линий (см. хотя бы Рис. 4, 
там, справа от $H\alpha$ видна линия NII). В силу этого, (для большей точности)
кривые вращения строились по эмиссионной линии $H\alpha$. Сами кривые
получались, следующим образом: В каждую строчку спектра (которая, по сути,
есть спектр от одной из точек галактики), в окрестности $H\alpha$ эмиссии,
вписывалась гауссиана, координаты центра которой, очевидным образом
позволяют определить скорость движения данной конкретной точки галактики.
Таким образом для каждой точки галактики, дающей измеримую $H\alpha$
эмиссию, определялась скорость движения. Дальше, чтобы получить кривую
вращения, необходимо было определить положение центра галактики, что можно
сделать на спектре, либо по положению континуума, либо, если континуум
слишком слаб и асимметричен, по симметрии кривой вращения. Для нескольких
галактик кривые вращения показаны на Рис. 5 - 16. Также, при измерении скорости 
каждой точки галактики рассчитывалась погрешность определения скорости (см.
Рис 5-16) (рассчитывалась она, как погрешность определения параметра при аппроксимации 
профиля линии гауссианой). И наконец определялась средняя скорость галактики 
и расстояние до галактики. Для этого рассчитывалось средневзвешенное 
(погрешность определения скорости каждой точки галактики ведь нам известна) 
по всей линии значение скорости. Мы понимаем, что данный метод может быть неточным 
при значительной асимметрии галактики, однако, в остальных случаях, он 
достаточно точен (по отношению к случайным погрешностям, мы оцениваем его 
точность где-то в 20 км/с (по измерениям скоростей галактик, спектров
которых у нас было несколько)). Расстояние определялось из скорости центра 
галактики по закону Хаббла (принятое значение $H_0 = 70 км/с/Мпк$). Также, по уже 
полученным кривым вращения, определялись такие параметры как, амплитуда кривой 
вращения (максимальная наблюдаемая скорость вращения в галактике), линейное
расстояние от центра галактики до той точки, где достигается максимум кривой
вращения. Эти параметры впоследствии (см. 4.) позвролят нам получить оценку
массы галактик выборки. Полученные нами данные по галактикам, (вместе с 
некоторыми глобальными характеристиками, взятыми из LEDA (Lyon-Meudon 
Extragalactic Database)) приведены в Таблице 1.

\begin{figure}
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=fcbreU10114.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 5 Кривая вращения галактики FGC 962
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering  
  \psfig{figure=fcbreU10124.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 6 Кривая вращения галактики FGC 1289               
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
\begin{figure}
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering  
  \psfig{figure=fcbreU10125.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 7 Кривая вращения галактики FGC 1492               
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering  
  \psfig{figure=fcbreU10130.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 8 Кривая вращения галактики FGC 1700               
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
\begin{figure}
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreU11005.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 9 Кривая вращения галактики FGC 599
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreU11013.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 10 Кривая вращения галактики FGC 670
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
\begin{figure}
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreU11015.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 11 Кривая вращения галактики FGC 852
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreU11017.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 12 Кривая вращения галактики FGC 867
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
\begin{figure}
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreu11504.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 13 Кривая вращения галактики FGC 2067
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreu11512.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 14 Кривая вращения галактики FGC 2074
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
\begin{figure}
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreu11517.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 15 Кривая вращения галактики FGC 2081
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[t]{.5\linewidth}  
  \centering
  \psfig{figure=fcbreu11525.bdf.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 16 Кривая вращения галактики FGC 2174
\end{minipage}\hfill
\end{figure}         
\section {Фундаментальные зависимости между параметрами галактик и влияние
эффектов селекции на параметры выборки.} 
Конечной целью нашей работы было проанализировать кинематические
характеристики галактик и их возможные соотношения. Так, нами были
рассмотрены зависимости Mass vs $V_{max}$, $R_{25}$ vs $V_{max}$, Mass vs 
$R_{25}$, Mass vs Dist, $R_{25}$ vs Dist  (см. Рис. 17 - 21) (масса
галактики оценивалась по очевидной формуле $M = \frac{R_{max} *
V_{max}^2}{G})$. Из рисунков явно видно, что вышеупомянутые характеристики с 
той или иной точностью подчиняются некоторым соотношениям. Так, аппроксимируя 
зависимости на Рис. 17-19 прямыми , получаем:
$$ log(\frac{M}{M_{\odot}}) = ( 3.1 \pm 0.2 ) * log (\frac{V_{max}}{1{km}/{s}})  + 3.8 \pm 0.4 $$  
$$ log(\frac{R_{25}}{1kpc}) = ( 0.9 \pm 0.1 ) * log (\frac{V_{max}}{1{km}/{s}}) - 0.7 \pm 0.2$$
$$log(\frac{M}{M_{\odot}})= ( 2.4 \pm 0.2 ) * log(\frac{R_{25}}{1kpc}) + 7.4 \pm 0.3$$
Эти зависимости достаточно хорошо известны. Так, например, зависимость Mass vs
$V_{max}$ является, по сути, соотношением Талли-Фишера (приняв то
предположение, что отношение массы к светимости приблизительно одинаково для
звездных дисков в галактиках поздних морфологических типов. Соотношение же $R_{25}$ 
vs $V_{max}$, например, очевидным образом, позволяет определять расстояние до галактики, 
по ее кривой вращения.

Рисунки 20 - 21, в свою очередь, демонстрируют не фундаментальные зависимости
параметров  галактик от расстояния (диапазон расстояний до галактик выборки
мал в космологическом масштабе), а влияние эффектов селекции. Так, например
нижняя огибающая точек Рисунка 21 иллюстрирует ограничение, возложенное на
галактики выборки - отношение осей по Паломарскому обзору всех галактик
 выборки близко к 7, а так как малая ось далеких галактик на Паломарском 
обзоре равна размеру PSF, а большая ось галактики уменьшается при удалении 
галактики с фиксированным отношением осей, то маленькие галактики выпадут 
из выборки. Верхняя же огибающая демострирует эффект селекции по другой 
причине - слишком большие галактики исключались из рассмотрения, так как 
их угловые размеры были больше длины щели, и поэтому не наблюдались. На
рисунке 20 также виден в эффект селекции. Просто, по понятным причиам, 
более далекие галактики включались в выборку при большей светимости, чем
близкие, а так как в среднем, для галактик близких морфологического типов,
чем больше светимость, тем больше масса, то мы видим, что масса галактик в
нашей выборке растет с расстоянием.           
   
\begin{figure}
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering  
  \psfig{figure=vmm.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 17 log(Mass) vs log($V_{max}$)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=vmr25.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 18 log($R_{25}$) vs log($V_{max}$)
\end{minipage}\hfill
\end {figure}
\begin {figure} 
\centering
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=r25m.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 19 log(Mass) vs log($R_{25}$) 
\end{minipage}\hfill
\end {figure}
\begin {figure} 
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=dim.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 20 log(Mass) vs log(Dist)
\end{minipage}\hfill
\centering
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \centering
  \psfig{figure=dir25.ps,width=\linewidth,angle=-90}
  \vspace{10pt}
Рис. 21 log($R_{25}$) vs log(Dist)
\end{minipage}\hfill
\end{figure}    


\begin {table}
\centering
\footnotesize
\caption {Таблица изученных галактик. В ней указаны номер по каталогу FGC,
радиус по 25-ой изофоте (LEDA), полученная нами скорость центра, красное смещение, расстояние до галактики, максимальное значение 
скорости вращения, линейное расстояние от центра галактики до той точки, где кривая вращения достигает максимума, оценка массы.}
\begin {tabular} {c|c|c|c|c|c|c|c|c}
      No  &         FGC  &$R_{25}$& V      &    z        &Dist  &$V_{max}$ &$R_{max}$ &M\\  
          &              &arcsec &  km/s   &             & Mpc  & km/s & kpc
&$M_{\odot}$\\
\hline
	1 &         886  & 17.3  & 13556   &    0.04626  & 195  & 160  &  9  &  5.60060e+10\\
	2 &         886  & 17.3  & 13556   &    0.04626  & 195  & 140  &  9  &  4.28796e+10\\
	3 &         885  & 36.9  &  4183   &    0.01404  &  59  & 130  &  3  &  1.34687e+10\\
	4 &         926  & 21.7  &  7668   &    0.02590  & 109  &  90  &  5  &  9.92056e+09\\
	5 &         926  & 21.7  &  7682   &    0.02594  & 110  &  90  &  5  &  9.93891e+09\\
	6 &         958  & 21.7  &  4652   &    0.01563  &  66  &  75  &  4  &  5.82114e+09\\
	7 &         962  & 42.4  &  4838   &    0.01626  &  69  &  75  &  3  &  4.32558e+09\\
	8 &        1146  & 15.7  &  8871   &    0.03002  & 127  &  70  &  2  &  2.08721e+09\\
	9 &        1146  & 15.7  &  8852   &    0.02996  & 127  &  70  &  2  &  2.08267e+09\\
       10 &        1227  & 32.9  &  4746   &    0.01595  &  67  & 110  &  3  &  8.21378e+09\\
       11 &        1227  & 32.9  &  4736   &    0.01591  &  67  & 100  &  3  &  6.77383e+09\\
       12 &        1289  & 21.2  & 14576   &    0.04983  & 211  & 150  &  8  &  4.24195e+10\\
       13 &        1289  & 21.2  & 14584   &    0.04985  & 211  & 150  &  8  &  4.24434e+10\\
       14 &        1492  & 24.4  &  9366   &    0.03172  & 134  & 110  &  8  &  2.17857e+10\\
       15 &        1488  & 19.4  &  5560   &    0.01871  &  79  &  80  &  4  &  6.22930e+09\\
       16 &        1488  & 19.4  &  5582   &    0.01878  &  79  &  80  &  4  &  5.68562e+09\\
       17 &        1700  & 20.3  & 12339   &    0.04201  & 178  & 180  &  9  &  7.08175e+10\\
       18 &        1757  & 20.3  & 11179   &    0.03798  & 160  & 170  &  8  &  5.19199e+10\\
       19 &        1757  & 20.3  & 11183   &    0.03800  & 161  & 160  &  7  &  4.14073e+10\\
       20 &        1932  & 19.4  &  8825   &    0.02986  & 126  &  95  &  5  &  1.01975e+10\\
       21 &        2045  & 28.0  &  3390   &    0.01136  &  48  &  90  &  1  &  1.74153e+09\\
       22 &        2045  & 28.0  &  3411   &    0.01144  &  48  & 100  &  1  &  2.70429e+09\\
       23 &         599  & 46.5  &  3827   &    0.01284  &  54  & 150  &  4  &  2.04946e+10\\
       24 &         647  & 25.5  & 11797   &    0.04013  & 170  & 150  &  7  &  3.84329e+10\\
       25 &         647  & 25.5  & 11795   &    0.04012  & 170  & 140  &  7  &  3.34735e+10\\
       26 &         653  & 30.0  & 11568   &    0.03933  & 166  & 135  &  6  &  2.71235e+10\\
       27 &         653  & 30.0  & 11490   &    0.03906  & 165  & 140  &  7  &  3.25904e+10\\
       28 &         670  & 49.8  &  7396   &    0.02496  & 105  & 240  & 10  &  1.36023e+11\\
       29 &         852  & 33.7  &  8279   &    0.02799  & 118  & 115  &  6  &  1.75066e+10\\
       30 &         867  & 30.0  &  7611   &    0.02570  & 109  & 100  &  4  &  9.72429e+09\\
       31 &        1021  & 26.7  &  6274   &    0.02114  &  89  &  90  &  6  &  1.21463e+10\\
       32 &        1051  & 31.4  &  2732   &    0.00915  &  39  &  50  &  1  &  6.49044e+08\\
       33 &        1106  & 32.1  &  5305   &    0.01784  &  75  & 130  &  4  &  1.71142e+10\\
       34 &        1106  & 32.1  &  5286   &    0.01778  &  75  & 110  &  4  &  1.01742e+10\\
       35 &        1184  & 43.4  &  6535   &    0.02203  &  93  & 125  &  4  &  1.30219e+10\\
       36 &        1184  & 43.4  &  6500   &    0.02191  &  93  & 125  &  4  &  1.29514e+10\\
       37 &        2001  & 33.7  &  3874   &    0.01300  &  55  & 100  &  3  &  6.14755e+09\\
       38 &        2067  & 32.1  &  8928   &    0.03022  & 128  & 130  &  7  &  2.65676e+10\\
       39 &        2074  & 26.1  &  8481   &    0.02868  & 121  & 100  &  5  &  1.08522e+10\\
       40 &        2075  & 23.8  & 11609   &    0.03948  & 167  & 110  &  8  &  2.25914e+10\\
       41 &        2075  & 23.8  & 11656   &    0.03964  & 167  & 100  &  8  &  1.87477e+10\\
       42 &        2081  & 24.4  &  9108   &    0.03084  & 130  & 100  &  6  &  1.45841e+10\\
       43 &        2092  & 18.1  &  8964   &    0.03034  & 128  & 100  &  4  &  1.00449e+10\\
       44 &        2128  & 19.4  &  7026   &    0.02370  & 100  &  80  &  2  &  2.86969e+09\\
       45 &        2174  & 32.9  & 11836   &    0.04026  & 170  & 210  & 10  &  1.00777e+11\\
       46 &        1940  & 23.8  &  6867   &    0.02316  &  98  &  80  &  2  &  2.80398e+09\\
       47 &        2108  & 30.7  & 10010   &    0.03394  & 143  & 180  &  3  &  2.08056e+10\\
       48 &        2108  & 30.7  &  9979   &    0.03384  & 143  & 150  &  3  &  1.44028e+10\\
       49 &        2088  & 26.1  &  4966   &    0.01669  &  71  &  60  &  3  &  2.84223e+09\\
       50 &        2088  & 26.1  &  4925   &    0.01655  &  70  &  60  &  3  &  2.81857e+09\\
       51 &        2122  & 23.8  &  9139   &    0.03094  & 131  & 140  &  5  &  2.29469e+10\\
       52 &        2122  & 23.8  &  9149   &    0.03098  & 131  & 150  &  6  &  2.96678e+10\\
       53 &        2152  & 27.4  &  6123   &    0.02062  &  87  &  80  &  2  &  3.12123e+09\\
       54 &        2152  & 27.4  &  6183   &    0.02083  &  88  & 150  &  3  &  1.77308e+10\\
       55 &        2168  & 46.5  &  3425   &    0.01148  &  49  & 110  &  2  &  6.57139e+09\\




\end {tabular}
\end {table}










\end {document}