К.В.БЫЧКОВ
[ГАИШ],
И.М.САРАЕВА [физфак МГУ]
|
ВведениеВ основе предлагаемой работы лежит опыт семинарских занятий по курсам общей физики и астрономии для студентов астрономического отделения физического факультета МГУ. При изучении механики материальной точки, в особенности её разделов, связанных с движением по криволинейной траектории, часто оказываются полезными астрономические приложения. В условиях поверхности Земли набор естественных траекторий практически сводится к параболе. В космосе, наоборот, представлены многие типы криволинейного движения: вращение по окружности, а также эллиптические, параболические и гиперболические траектории разной степени вытянутости. К тому же формы орбит космических объектов не ограничиваются одними коническими сечениями. Например, обращение звёзд вокруг центра галактики во многих случаях не описываются законами Кеплера, а в процессе сжатия вращающихся газовых туманностей имеет место постепенное приближение к центру по спирали. Параллельно с физическим содержанием задачи уместно привести и первые сведения о математическом аппарате плоских кривых линий. Другим аспектом является соотношение между прямыми и обратными задачами. Для лабораторных условий типична прямая постановка: требуется вычислить параметры траектории тела, зная действующие на него силы. В астрономии как наблюдательной науке важен и обратный подход, когда по известному движению выясняют характер взаимодействия. Часть предлагаемого материала даёт студентам первое представление об обратных задачах. С методической точки зрения решение обратной задачи, как правило, проще и нагляднее. Поэтому имеет смысл показать одну и ту же задачу дважды: сначала в разделе «кинематика» как обратную, и затем, после приобретения студентами опыта, в разделе «динамика» выполнить решение более сложной прямой задачи. Перейдём к изложению материала, предварительно договорившись о некоторых обозначениях. Координаты точки, движущейся в плоскости, как обычно, равны x и y, время - t, а для параметров движения оставляем буквы a, b, k, w, j. Векторы представляем прямыми жирными символами: r – радиус вектор частицы, v – её скорость, w – ускорение. Точка над символом описывает дифференцирование по времени. I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах.Во всех задачах этого раздела требуется определить форму траектории, найти векторы скорости и ускорения, а также восстановить динамический закон движения. Задача 1.
Точка движется в плоскости. Её координаты x и y
зависят от времени t как где a, b, ω и φ - параметры. Если a либо b равны нулю, то имеет место прямолинейное движение вдоль той или иной координатной оси. Оно происходит внутри отрезка длиной 2a, либо 2b, центр которого расположен в начале координат. Предположим, что оба этих параметра отличны от нуля. Разделим первое уравнение на a, второе - на b и раскроем косинус суммы: Исключим время t из уравнений движения. Сначала рассмотрим два особых случая. При получается эллипса, ориентированный параллельно осям: , а значению соответствует уравнение отрезка прямой . В случае, когда оба этих параметра отличны от нуля, с помощью ( 3 ) выразим и через x/a и подставим результат в ( 4 ). После несложных преобразований получим уравнение эллипса, ориентация которого определяется величиной φ:
. Роль параметра φ ясна из Рис. 1. Теперь определим кинематические характеристики траектории и попытаемся выяснить направление действующей силы. На Рис. 1 единичные векторы i и j, направлены вдоль координатных осей. Напишем выражение для радиус-вектора точки, с координатами ( 1 ) и ( 2 ): . Векторы скорости
и ускорения получаются последовательным дифференцированием r: , . Из последних двух формул вытекает связь между ускорением и радиус-вектором: Мы получили хорошо известное уравнение пространственного осциллятора. Частица массы m движется под действием центральной притягивающей силы, по абсолютной величине равной mω2r. Пространственный осциллятор является важным методическим инструментом в атомной физике и оптике — двух активно используемых в астрофизике разделах общей физики. Знакомство с ним на семинарах по механике облегчает в дальнейшем освоение темы поляризованного излучения, а также анализ эффектов Зеемана и Штарка. Задача 2 Точка движется по закону с параметрами a, b и k. Случай k=0 здесь не представляет интереса. Равенство нулю a или b означает прямолинейное перемещение вдоль одной из координатных осей. Если они оба отличны от нуля, то траектория является отрезком гиперболы y=ab/x.
Не теряя общности, мы можем считать a и b положительными[1]. Они равны координатам точки в начальный момент времени: , которая в дальнейшем будет двигаться вправо. Вычислим вектор скорости , его абсолютную величину и вектор ускорения
. Тело отталкивает
центральная сила mk2r. Задача 3. Точка движется в плоскости : Вычтем квадраты уравнений, делённых на a и b соответственно: . Получилась гипербола, как и на Рис. 2, но оси координат повёрнуты на 45°. Её график приведён на Рис. 3. Дифференцируя (6) и (7) по времени, получим вектор скорости
и ускорения . Легко убедиться, что и здесь на тело действует отталкивающая сила F=mk2r. Итак, одна и та же сила может обуславливать внешне различающиеся типы движения. На частном примере мы увидели проявление важного принципа: динамический закон является более общей характеристикой движения, чем кинематические параметры.
Задача 4. Заряженная частица совершает пространственное
движение в однородном и постоянном магнитном поле:
с постоянными параметрами R, vz, w. Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию
с шагом. Винтовая линия изображена на Рис. 4. Из закона движения вытекают следующие выражения для вектора скорости
и квадрата его модуля , а также аналогичных величин для ускорения . II. Движение в полярных координатах.Задача 5. Точка A
движется в плоскости (x, y), причём
закон её движения задан в полярных координатах: r=r(t), φ=φ(t).
Определить скорость и ускорение точки.
Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5. Обозначим посредством eζ и eη “новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы eζ и eη со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов i и j. Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат: . Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для : . Радиус-вектор, по построению, коллинеарен eζ:: . При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта : Проекция называется азимутальной, а проекция - трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения: Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле и имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое - кориолисово ускорение. Задача 6.
Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол j отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса с эксцентриситетом e и параметром p в полярных координатах имеет вид: Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введём константу Перепишем формулу (9) Задача 5 в виде Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус–вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ: Вводим новую переменную u=1/r и воспользуемся формулой Бинэ: где введено обозначение= du/dφ. Для вычисления правой части достаточно знать функцию r(φ). Для вывода формулы Бинэ выразим скорость изменения r через : . Воспользовавшись определениями и K, перепишем последнее уравнение в форме: а дифференцируя его по времени с учётом ( 11 ) получаем Подставляя в ( 13 ) полученные выражения для и , приходим к ( 14 ). Теперь с помощью формулы Бинэ получаем окончательное выражение для wξ: . Итак, со стороны Солнца на планету действует притягивающая сила . Задача 7. Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом
ε. Зная её скорость v1 в перигелии,
определить скорость v2 в
афелии. В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус–вектор взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен её трансверсальной компоненте: . Точке перигелия , согласно ( 10 ), соответствует значение φ равное нулю, а в точке афелия φ = π. Из постоянства секторной скорости вытекает равенство . Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату: . Задача 8. Показать, что квадрат скорости планеты равен , где a — длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует Вычислив по формуле ( 15 ) Задача 6, получаем . Здесь также учтено .Уравнение траектории ( 10 ) позволяет выразить sin2 φ через r: . Подставив это значение в предыдущую формулу с учётом соотношения , приходим к искомому результату. Задача 9. Частица движется к притягивающему центру по плоской
траектории где r и φ — известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиус‑вектору и по абсолютной величине равна v0. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения. Из начальных условий определим значение константы K=2av0. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом, притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. Радиальную компоненту вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчёты по формуле ( 13 ) Задача 6. Из ( 15 ) и ( 16 ) следуют выражения для и :
откуда . Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin2φ через a и r : . Окончательно . Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ):
Подставляя в ( 14 ) полученное выражение для , после простых преобразований приходим к тому же выражению для ускорения: . Связь между модулями скорости и радиус‑вектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ): . Задача 10. Точка движется в плоскости по закону с параметрами r0 и a. Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения. Исключив время t, получим изображённую на Рис. 6 гиперболическую спираль
. По формуле ( 17 ) вычисляем модуль скорости: . Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами скорости. По формуле ( 8 ) легко найти, что для начального момента времени: . Траектория направлена противоположно оси абсцисс и наклонена к ней под углом 45˚. В рассматриваемой задаче величина секторной скорости постоянна: . Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение . Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния. III Проекция ускорения на естественные оси.Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта. Задача 11.
Движение точки в плоскости описывается в
декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на
естественные оси, а также радиус кривизны траектории.
Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим eτ и en единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор eτ направлен вдоль скорости: . Формулапозволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим . Так как длина вектора не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда Вектор нормали en ищем в виде , где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки
и ортогональности: . Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7: . Проекция ускорения на касательную wτ равна скалярному произведению Аналогично вычисляем wn: Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием
, где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности: . Подставляя сюда ( 21 ), приходим к . Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории. Задача 12. Точка описывает эллипс . Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9. Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1. Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к . Аналогичным путём получаем формулы для нормального ускорения
и для радиуса кривизны . Подставляя в них зависимость x и y от времени, получаем для точки A: и для точки B: . Задача 13. Частица движется в плоскости по траектории r=acosφ. В начальный момент времени φ=0, а скорость
направлена перпендикулярно радиус‑вектору. Секторная скорость постоянна и
равна K/2. Определить связь между модулями v и r , а
также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и
трансверсальную. При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории: . Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя , приходим к следующему выражению для v2: , откуда .
В интервале углов траектория представляет собой окружность радиусом a/2 с центром в точке x=a/2, y=0. На Рис. 10 показаны все четыре компоненты вектора ускорения.. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Воспользуемся формулой ( 19 ) Задача 11: . При известных значениях скорости и радиуса кривизны нормальное ускорение рассчитываем по формуле . Трансверсальное ускорение равно нулю. Вычисление радиальной компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора в разложении по и . Из Рис. 10 видно, что они равны cosφ и sinφ соответственно. Компонента wξ равна скалярному произведению векторов w и eξ: .Подставляя сюда полученные выше выражения для wn и wτ , получаем.Тело движется под действием притягивающей силы, величина которой обратно пропорциональна r5. |