Слои звёзд, в которых образуются абсорбционные линии, как правило, близки к состоянию термодинамического равновесия. Во всяком случае это относится к линиям, по которым проводится спектральная классификация. Поэтому термодинамические методы активно применяются при анализе звёздных атмосфер.

        Конечно, полная задача об эквивалентной ширине спектральных линий не сводится только к термодинамике. При её решении необходимо учитывать также перенос излучения, профиль коэффициента поглощения, движение газа, вращение звезды и другие процессы. Но существует обстоятельство, позволяющее упростить полную задачу, сохраняя её физическое содержание. Дело в том, что эквивалентная ширина связана с числом поглощающих атомов, причём при заданных значениях атомных параметров эта связь однозначна и монотонна. Поэтому решение вопроса о населённости нижнего уровня перехода позволяет понять некоторые качественные аспекты спектральной классификации. Напомним, что при переходе к более горячим атмосферам определённые линии сначала усиливаются, затем проходят через максимум, а потом начинают ослабляться. Каждая линия имеет свою температуру максимума. Поставим следующие вопросы:

1. Почему линии быстро ослабляются при переходе от максимума к более низким температурам?
2. Почему ослабление в сторону высоких температур происходит значительно медленнее?
3. Как связана температура максимума со структурой атома?

Ответы на них мы можем получить, не выходя за рамки термодинамики.




        Этих двух формул вполне достаточно для первого знакомства с термодинамикой звёздных атмосфер. Формула Больцмана описывает населённость возбуждённых состояний, а формула Саха - состояние ионизации химического элемента. Первая выведена в предположении постоянства числа частиц, а вторая учитывает химические реакции, то есть возможное исчезновение старых частиц и появление новых.




        Формула Больцмана связывает друг с другом населённости дискретных уровней иона или атома:

n2 n1 =  g2 g1 exp ж и  E1-E2 kT ц ш  .

(1)

Здесь n_j обозначает число атомов на j-м энергетическом уровне, E_j - его энергию, g_j - статистический вес. Количество атомов рассчитываем на единицу объёма, то есть, n - плотность числа частиц.

        Статистическим весом называют число различных состояний атома, имеющих одну и ту же энергию. В случае атома водорода вес энергетического уровня с номером k равен

gk=2k2 .

(2)

        В более сложных системах различают термы и уровни¹. Реально в каждом атоме существуют уровни. Вес уровня определяется его полным моментом J:

gJ=2J+1 .

(3)

        В отличие от уровня, терм - воображаемое понятие и представляет собой среднее положение нескольких близко расположенных уровней. Вес терма определяется суммарным спином электронов S и их суммарным орбитальным моментом L:

gLS=(2S+1)(2L+1) .

(4)

        Вес терма равен сумме весов всех составляющих его уровней.

.
        Формула Саха описывает равновесное состояние ионизации:

nine na =  2Ui Ua  (2p mT)3/2 h3 e-P/kT .

(5)

         Как и в случае формулы Больцмана, число частиц пропорционально статистическому весу. Нас интересует полное число ионов или атомов, поэтому вместо веса отдельного энергетического уровня фигурирует сумма по состояниям:

Ua=g0+ е ex  gexexp(-Eex/kT) .

(6)

        Здесь g₀ - вес основного состояния, а индексом <<ex>> помечены веса и энергии возбуждённых состояний, по которым выполняется суммирование. Аналогично вычисляется сумма по состояниям иона U_i. Множитель 2 равен статистическому весу электрона - числу возможных проекций его спина.

        В приложении к звёздным атмосферам температуру удобно измерять в электрон-вольтах:

TeV=  T 11605 K  .

        Подставляя в (5) численные значения атомных констант, приходим к формуле

nine na =B  Ui Ua TeV3/2e-P/TeV        B » 6 1021.

(7)

        Начиная с этого места условимся, что если температура измеряется в любых энергетических единицах, но не в градусах, то в этих же единицах выражены все потенциалы - ионизации и возбуждения.

        Теперь обсудим важное отличие формулы Саха от формулы Больцмана. Если (5) переписать в виде

ni na =  2Ui Ua  (2p mT)3/2 h3ne e-P/kT ,

то мы увидим аналогию с (1), но в правой части присутствует дополнительный безразмерный множитель

gtr=  (2pmkT)3/2 h3ne  .

        Это не что иное, как число квантовых состояний электрона, связанное с его перемещением в пространстве. В формуле Больцмана такие множители сокращаются, так как при возбуждении число частиц остаётся прежним. А формула Саха описывает реакции с изменением числа частиц², поэтому множитель g_tr остаётся.

        В условиях звёздных атмосфер численное значение g_tr лежит в диапазоне от 10⁵ до 10⁸. Следовательно, заметная ионизация всех химических элементов имеет место при температурах, в несколько раз меньших потенциала ионизации атома. Например, в звёздах спектрального класса А0 водород ионизован более, чем наполовину, хотя температура их атмосфер в 12-15 раз меньше потенциала ионизации атома водорода.

        Вернёмся к формуле (6) и рассмотрим внимательнее сумму

S= е ex  gexexp(-Eex/kT)

(8)

для атома водорода. На первый взгляд может показаться, что она невелика по сравнению с g₀. Например, в уже упоминавшихся звёздах класса А0 численное значение g₁exp(-E₁/kT) оставляет менее 0.1% от g₀, а экспоненциальный множитель в следующих слагаемых ещё меньше. Однако энергия возбуждения имеет верхний предел - потенциал ионизации атома. Следовательно, для любого E_ex справедливо

exp(-Eex/kT) > exp(-P/kT) .

        Заменив в (8) энергии возбуждения на потенциал ионизации, получим очевидное неравенство:

S > exp(-P/kT)×2 Ґ е j=1  j2 .

        Теперь стало совершенно ясно, что такая сумма не существует: она бесконечно велика!

        Объясняется полученный парадокс просто: атом, взаимодействующий с другими частицами, имеет только ограниченное число уровней, а схема с бесконечным множеством состояний вблизи границы ионизации - это идеализация, справедливая только для уединённого атома. В атмосферах звёзд обычно реализуется не более 20-30 уровней, и вклад суммы S редко превышает слагаемое g₀. Не ставя своей целью выполнение рафинированных расчётов, мы примем простое решение, положив сумму по соcтояниям равной весу нижнего уровня:

Ua=g0 .

(9)

        Аналогичная формула, конечно, справедлива и для иона.

        Всё сказанное относится не только к атому водорода, но и к любой атомной системе, так как все состояния с высокой степенью возбуждения близки к соcтояниям атома водорода или водородоподобным ионам.

        В поставленной задаче населённость уровней зависит от двух параметров: температуры T и плотности числа тяжёлых частиц n. Под тяжёлыми частицами мы понимаем ионы и атомы, но не электроны. Строго говоря, для вычисления n мы должны просуммировать число частиц ионов и атомов всех химических элементов. Но если мы будем учитывать только водород, то сделаем ошибку лишь около десяти процентов, соответственно содержанию гелия - следующего по обилию химического элемента в звёздах главной последовательности. Далее, будем считать водород практически полностью ионизованным, что вполне допустимо для рассматриваемых нами звёзд горячее А0. Гелий в ОВ-звёздах может быть ионизован однократно, либо двукратно, то есть, его вклад в электронную плотность составляет от десяти до двадцати процентов. Пренебрегая этим вкладом, приходим к следующей простой формуле для вычисления электронной плотности:

ne=n ,

(10)

которой и будем пользоваться в дальнейшем.




        Самой простой системой является атом водорода, и вполне логично было бы начать изложение именно с его бальмеровской серии. Однако пойти по такому пути нам мешает принятая в предыдущем разделе гипотеза о его полной ионизации. Исследуя поведение субординатных линий в области высоких температур, мы должны рассмотреть конкуренцию ионизации и возбуждения. Но формула (10) не позволяет корректно учесть уравнение Саха для водорода. Поэтому мы начнём с гелия: изучение его субординатных переходов вполне допустимо в рамках сделанных предположений. К тому же для задач спектральной классификации, как мы убедились выше, гелий значительно интереснее водорода, так как его линии более чувствительны к температуре, а их интенсивность ближе к интенсивности линий других химических элементов³.




        Гелий может находиться в трёх состояниях ионизации: HeI, HeII и HeIII, причём только HeI и HeII имеют дискретные уровни. Напомним, что HeI обозначает атом гелия, а HeII - его первый ион. Обозначим их относительные концентрации как x₁, x₂ и x₃. Из их определения следует

x1+x2+x3=1 .

(11)

        Формула Саха даёт два уравнения

x2 x1 =f1 ,        x3 x2  .

(12)

        Обе функции, f₁ и f₂, содержат экспоненциальные множители:

fj=ajexp(-Pj/kT) .

(13)

        Здесь a_j - тоже функции температуры ( µ T^3/2), но они меняются значительно медленнее, чем экспонента.

        Хотя система линейных уравнений (11) и (12) решается без труда, тем не менее физическое содержание коэффициентов f_j позволяет выполнить дальнейшие упрощения.

        Во-первых, в рассматриваемом диапазоне температур всегда выполнено условие:

f2 < f1 .

(14)

        Во-вторых, экспоненциальная зависимость f_j позволяет рассматривать сравнительно чётко очерченные диапазоны температуры, в каждом из которых можно пренебречь тем или иным состоянием ионизации. Выпишем решение (11) и (12) в явном виде:

1 x1 =1+f1(1+f2) ,                                (15)  1 x2 =1+  1 f1 +f2 ,                                (16)  1 x3 =1+  1 f2 ж и 1+  1 f1 ц ш  .                                (17)

        Отметим вытекающее из (12) полезное тождество:

x3 x1 =f1f2 .

(18)

        Теперь рассмотрим различные диапазоны изменения f₁ и f₂.

1. f₁f₂ << 1. В этом случае можно пренебречь x₃ по сравнению с x₁ и x₂:
   

   x1+x2 » 1 .

   (19)

2. f₁f₂ >> 1. Здесь пренебрегаем x₁ по сравнению с x₂ и x₃:
   

   x2+x3 » 1 .

   (20)

        Каждое из уравнений (19) и (20) значительно проще, чем (11).

        Теперь мы можем непосредственно заняться интересующей нас величиной - числом атомов n_l на нижнем уровне перехода. Напомним, что все наблюдаемые в оптическом диапазоне линии гелия относятся к субординатным, то есть, их нижний уровень является возбуждённым. Обозначим его энергию через E_l и введём безразмерную величину

y=  nl nHe  ,

(21)

где n_He - полное число частиц гелия, просуммированное по всем состояниям ионизации. Рассмотрим сначала переходы нейтрального гелия.

        Чтобы воспользоваться формулами Саха и Больцмана, перепишем (21) для данного случая в виде

y=  nl nHeI  nHeI nHe  ,

(22)

или

y=  gl g1 exp ж и -  El kT ц ш x1(T,n) .

(23)

        При переходе от (22) к (23) мы учли то обстоятельство, что населённость возбуждённых уровней значительно ниже, чем основного, и, следовательно, мы можем принять число атомов гелия в основном состоянии равным полному числу атомов гелия. Действительно, температура даже самых горячих О-звёзд не превышает 4 эВ, а потенциал возбуждения даже самых низких уровней нейтрального гелия выше 19 эВ. Поэтому равновесная населённость его возбуждённых уровней содержит экспоненциальный множитель exp(-19/4) < 0.01. Но и такая оценка ещё завышена. Линии нейтрального гелия наиболее заметны у звёзд класса В, температура которых не превышает 2.5 эВ и тот же множитель меньше, чем exp(-19/2.5) < 0.001.

        Ясно, что исследование нейтрального гелия целесообразно проводить в области температур, которой отвечает уравнение (19). Подставляя его решение в (23), получим

y=  gl g1 exp ж и -  El kT ц ш 1+a1(n,T)exp ж и -  P1 kT ц ш  .

(24)

        Функция y(T) не монотонна, она имеет максимум. Тем самым она отражает реальные свойства линий гелия, которые усиливаются при переходе от поздних к ранним подклассам В, а затем ослабляются у более горячих звёзд.

        Рассмотрим область настолько низких температур, что в знаменателе (24) можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с единицей. Физически это означает, что гелий находится в нейтральном состоянии, и населённость y(T) экспоненциально растёт с температурой по формуле Больцмана:

y µ exp(-El/kT) .

(25)

        Энергия возбуждения E_l оптических переходов атома гелия составляет 19-20 эВ. Температура атмосфер поздних и средних подклассов В лежит в диапазоне 1-1.5 эВ. Соответственно, показатель экспоненты (25) находится в диапазоне от 15 до 20, что означает очень быстрый рост населённости с температурой.

        В противоположном случае высоких температур мы пренебрегаем единицей в знаменателе дроби (24) и приходим к:

y »  1 a(n,T) exp ж и  P1-El kT ц ш  .

(26)

        Оно описывает убывающую функцию температуры (напомним, что множитель a(n,T) пропорционален T^3/2). Здесь мы видим результат влияния двух факторов. С одной стороны, увеличивается населённость возбуждённого уровня относительно основного состояния по формуле (1), но с другой - усиливается ионизация гелия. В рассматриваемом предельном случае концентрация атомов гелия x₁ зависит от температуры как

x1 »  1 f1 ~  1 a(n,T) exp ж и  P1 kT ц ш

(27)

в согласии с (15) при f₁ >> 1. Ионизация нейтральных атомов здесь играет б\'ольшую роль, чем усиление возбуждения. Главная причина в том, что потенциал ионизации больше энергии возбуждения любого дискретного уровня.

        Формула (26) описывает значительно более слабую зависимость населённости от температуры, чем (25). В самом деле, все возбуждённые уровни атома гелия близки к границе ионизации: при P₁=24.6 эВ значения E_l лежат в диапазоне от 19.5 до 21 эВ, поэтому разность P₁-E_l не превышает 4 эВ.

        Итак, нам теперь известна причина поведения спектральных линий гелия в разных интервалах температур по обе стороны от максимума. Теперь определим положение максимума и его зависимость от параметров атома.

        Определим температуру, отвечающую максимуму функции (24). Для удобства расчётов температуру в этом разделе измеряем в электрон-вольтах и введём новую переменную:

z=  g1 gl  1 y  .

        Будем искать минимум z как функции аргумента q=1/T_eV. В силу монотонной зависимости как z от y, так и q от T_eV, задача о минимуме y(T_eV) эквивалентна задаче о максимуме z(q). Итак, ищем значение q, при котором выражение

z=exp(Elq)[1+A(n)q-3/2exp(-P1q)]

(28)

имеет минимум. Здесь мы выписали зависимость от температуры в явном виде и ввели множитель

A(n)=  Ui Ua  B n .

        Продифференцировав (28) по q и приравняв производную нулю, приходим к уравнению

exp(P1q) = A(n)q-3/2  3 2 +(P1-El)q Elq  .

(29)

        Оно без труда решается численными методами, если задать конкретные значения параметров. Но наша задача заключается в другом: надо получить, хотя бы приближённо, аналитическую зависимость температуры максимума T_m от P₁ и E_l.

        Произведение P₁q является большой величиной: от десяти и выше. Это позволяет нам утверждать, что на величину T_m в гораздо большей степени влияет потенциал ионизации, чем энергия возбуждения. В справедливости сделанного утверждения убедимся сначала на модельном примере. Рассмотрим функцию

w=exp(Elq)[1+Bexp(-P1q)]

        Она отличается от (28) тем, что зависящий от температуры множитель Aq^-3/2 заменён некоторой константой C. Температура максимума w выражается аналитически:

Tmw=   P1 ln й л C ж и  P1 El -1 ц ш щ ы  .

(30)

        Мы видим, что T_m^w зависит от P₁, в основном, линейно, а от E_l - только логарифмически. Можно надеяться, что (30) правильно передаёт и основные черты решения (29), так как множитель q^3/2 меняется значительно медленнее, чем exp(P₁q) и в первом приближении его можно заменить постоянной величиной.

        Ниже мы выпишем аналитическое приближение к решению уравнения (29), но сначала поставим вопрос с физической точки зрения: почему энергия возбуждения столь слабо влияет на величину T_m? Дело в том, что формула Больцмана, куда входит E_l, сама по себе не имеет экстремумов: чем выше температура, тем сильнее заселены возбуждённые уровни относительно основного. Появление максимума обусловлено переходом атомов в ионизованное состояние. Этот процесс описывается формулой Саха и им управляет потенциал ионизации.

        Логарифмическая зависимость T_m от отношения P₁/E_l происходит от эффекта насыщения возбуждённого уровня. Состояния с меньшим потенциалом возбуждения заселяются при менее высоких значениях температуры и, следовательно, несколько раньше реагируют на изменение ионизации.

        Теперь модифицируем формулу (30) таким образом, чтобы она описывала максимум функции (28). Конечно, точного решения мы не получим, но нашей целью, напомним, является получение аналитического выражения, качественно правильно описывающего зависимость T_m. Прологарифмируем уравнение (29):

P1q = lnA(n)-  3 2 lnq+ln й л  3 2 +(P1-El)q щ ы -ln(Elq) .

        Среди слагаемых правой части по величине выделяется первое. Действительно, численное значение q около единицы, а сумма под знаком логарифма в третьем слагаемом и произведениеE_lq - порядка десяти. В то же время величина A(n) в условиях звёздных атмосфер при плотности n » 10^15ё16 составляет A(n) » 10^5ё6. Отношение весов нижнего и верхнего уровней не превышает двойки: спин S не меняется, а орбитальное квантовое число L либо также остаётся прежним, либо меняется на единицу. Отношение g_i/g_a в случае гелия равно двум. Следовательно, мы не сделаем большой ошибки, пренебрегая в правой части всеми слагаемыми, кроме первого. В результате получим приближённую оценку:

q0 »  lnA(n) P1  .

        С помощью q₀ напишем выражение для константы C:

C=A(n)q0-3/2

и подставим его в (30). В результате получим

Tm=  P1 lnA(n)+  3 2 lnP1-  3 2 lnlnA(n)+ ln ж и  P1 El -1 ц ш  .

(31)

        Снова видна сильная зависимость от потенциала ионизации и слабая - от энергии возбуждения.

        Итак, на примере линий гелия в горячих звёздах мы убедились, что методы термодинамики, выражающиеся в простых формулах Саха и Больцмана, позволяют описать различие спектров у звёзд с разной температурой. Эти методы применимы и к звёздам всех спектральных классов, что мы надеемся показать в другой работе. Но анализ эффектов давления, то есть различия спектров звёзд разной светимости, требует уже привлечения сведений из атомной физики и теории переноса излучения в линиях и континууме.

Скачать этот материал в формате PDF

---

¹Их следует отличать от энергетических уровней

²Один атом превращается в пару ион-электрон

³Линии водорода являются самыми сильными во всех звёздах горячее F0.

---