Астрономическое образование с сохранением традиций
ОБЩАЯ ФИЗИКА:

К.В.БЫЧКОВ [ГАИШ],  А.С.НИФАНОВ, И.М.САРАЕВА [физфак МГУ]

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ: ЗАДАЧИ

Задачи по курсу общей физики для студентов астрономического отделения

Здесь можно скачать этот файл в формате Ms.Word

              Рис.1 Вращение под
действием центральной
силы
по неподвижной орбите.

  

 

 

 


Движение точки по неподвижной орбите под действием центральной силы  (рис. 1) можно описать следующей системой уравнений:

                         (1)

Если обозначить изменившуюся величину силы , уравнения движения планеты по вращающейся эллиптической орбите примут вид:

       (2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что  .

После несложных преобразований первого из уравнений системы (2) можно получить:

 отсюда 

Итак,

Такое движение по вращающейся эллиптической орбите совершает планета Меркурий (рис. 3).

 

Предлагается несколько задач для семинарских занятий со студентами – астрономами по теме «Динамика материальной точки».

 

                В основе статьи – накопленный авторами опыт семинарских занятий по курсу общей физики и астрономии со студентами астрономического отделения физического факультета МГУ.  

В задачах рассматривается движение материальной точки в гравитационном (и кулоновском) поле. Эти задачи являются важными элементами фундамента для изучения курса современной астрономии. В задачах обсуждаются события, реально наблюдаемые астрономами.

Так задача о прецессии орбиты имеет прямое отношение к объяснению траектории движения вокруг Солнца его ближайшей планеты – Меркурия. В задаче о гравитационном взаимодействии движущихся масс рассматривается ситуация, часто реализующаяся в космическом пространстве. В некоторых случаях  два взаимодействующих тела можно рассматривать, пренебрегая в первом приближении влиянием других тел. Так, например, у двойных звезд траектории в основном определяется  их гравитационным  взаимодействием. Кроме того,  движение каждой планеты Солнечной системы происходит, в первую очередь, под влиянием ее притяжения к Солнцу, другие тела вызывают лишь малые искажения эллиптичности орбиты.

При решении задач используется, как уже известный, материал семинара «Кинематика материальной точки», опубликованный ранее [3].

 

                 Задача 1. Планета массы движется по эллипсу под действием центральной притягивающей силы . Как нужно изменить величину силы, чтобы относительное движение по орбите осталось неизменным, а орбита, не изменяя своего вида, вращалась вокруг центра сил  (рис.2)?

 

   

Рис. 2. Движение по эллиптической орбите, вращающейся вокруг центра сил  O относительно неподвижной системы координат.

 

 

Рис.3 Движение планеты Меркурий вокруг Солнца.

 
 

 


Задача 2. Доказать, что если планета массы  движется под действием гравитационного притяжения планетой массы (рис.4), то - интеграл движения, где - скорость планеты массы ,  - расстояние между планетами. Примечание: интеграл движения – это некоторая функция координат и скоростей, сохраняющая свою величину постоянной. Например, в соответствии со вторым законом Кеплера, в поле центральных сил интегралом движения является , - абсолютная угловая скорость.

Рис.4. Движение массы в гравитационном поле планеты массы .

 

 

Уравнение движения массы

 

Умножим обе части этого уравнения скалярно на

,

точка над координатой обозначает дифференцирование по времени. Аналогичным образом получаем:

 или иначе это можно записать  как

Итак, получим,  или  т.е.

- интеграл движения.

Если  то  При  должно быть  что невозможно.

Итак, при тело может двигаться лишь в ограниченной области пространства, такое движение называется финитным.

Если   возможно, такое движение называется инфинитным.

 

Задача 3. Найти длину радиуса-вектора в перигелии и афелии тела массы , совершающего движение в поле гравитационного притяжения массой , если задана величина интегралов движения  и  (см. предыдущую задачу).

 или

В перигелии и афелии  и, следовательно,  Зависимость  от  при  представлена на рис. 5.

 

 

Рис. 5 График зависимости от при

 
 

 

 


Проанализируем полученное квадратное уравнение:

  где

При

  

При  

 

При  

Задача 4. Доказать, что эксцентриситет  траектории, по которой движется планета массы , в гравитационном поле планеты массы  связан с интегралами движения  и  следующим образом  

При движении по эллипсу () эксцентриситет  (см. рис. 4) и, следовательно,    (см. задачу 3).

При движении по гиперболе ()  в перигелии:

,  кроме того

 где  (см. [3], задача 6)

После несложных преобразований получаем

 

Задача 5 Тело массы  движется по гиперболе в гравитационном поле массы (рис.6). Известна скорость  тела  на бесконечном удалении от притягивающего центра (тела массы ), а также прицельное расстояние . Определить угол рассеяния . Примечание: прицельным расстоянием называется кратчайшее расстояние от притягивающего центра до касательной к траектории в бесконечно удаленной точке.

 

                      Рис.6 Движение тела массы по гиперболе в гравитационном поле
                      тела массы

 

 

 

 

На бесконечном удалении от притягивающего центра угол  имеет минимальное значение и равен . С другой стороны, при  ,  что следует из уравнения гиперболической траектории. Таким образом, задача определения  сводится к определению эксцентриситета гиперболы .

Из решения задачи 4 следует, что              (3)

Поскольку движение происходит в поле центральной силы, момент импульса  массы  относительно притягивающего центра сохраняется. По определению,  величина .

На бесконечном расстоянии от притягивающего центра

; ; .

С учетом этих равенств из (3) получаем:

 ,  отсюда  ,

 

Задача 6  Два тела с массами  и  взаимодействуют по закону гравитации. При этом оба тела совершают в пространстве финитное движение. Найти  траектории тел.

Поместим начало координат в центр масс системы. Через  и обозначим радиус-векторы тел  и  соответственно. Тогда, по определению центра масс, , откуда . Введем в рассмотрение вектор  длины  направленный от массы  к массе  (рис. 7). После несложных преобразований получим  Уравнения движения каждого из тел можно записать следующим образом:

 , где                         (4).

Из системы (4) следует  уравнение

                            (5)  .

Поместим начало вектора в центр масс системы. В соответствии с уравнением движения (5)  описывает эллипс вокруг  центра масс как фокуса. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид .

 

Рис.7 Траектории материальных точек с массами и , взаимодействующих по закону гравитации.

 
 

 

 

 


По разные стороны от центра масс вдоль  будем откладывать  и  (рис. 7). Поскольку  и , легко понять, что  и  движутся по эллиптическим орбитам, один из фокусов которых совпадает с центром масс  системы  и

 

Литература:

1.        Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика.3-изд., М.: Наука, 1989.

2.        Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. М.: Наука. 1971.

3.        Бычков К.В., Сараева И.М. // Физическое образование в ВУЗах, Т.5, N2, 1999. С. 146-161.


Здесь можно скачать этот файл в формате Ms.Word